Question

已知函数f（x）=x²（ax+b）（a，b∈R）在x=2时有极值，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线3x+y=0平行，则函数f（x）的单调减区间为（ ）
A．（-∞，0）
B．（0，2）
C．（2，+∞）
D．（-∞，+∞）

Answer

求出f′（x），根据函数在x=2时取极值得到f′（2）等于0，代入得到①；又切线与已知直线平行得到两直线的斜率相等，求出已知直线的斜率等于切线的斜率，根据切线斜率等于f′（1）列出②，把①②联立即可求出a与b的值，把a与b的值代入到f′（x）中并令导函数小于0，列出关于x的不等式，求出x的解集即为函数的单调递减区间．
【解析】
f′（x）=3ax2+2bx，因为函数在x=2时有极值，所以f′（2）=12a+4b=0即3a+b=0①；
又直线3x+y=0的斜率为-3，则切线的斜率k=f′（1）=3a+2b=-3②，
联立①②解得a=1，b=-3，
令f′（x）=3x2-6x＜0即3x（x-2）＜0，
解得0＜x＜2．
故选B