Question

已知曲线C：y=x³及其上一点P₁（1，1），过P₁作C的切线l₁，l₁与C的另一公共点为P₂（不同于P₁），过P₂作C的切线l₂，l₂与C的另一公共点为P₃（不同于P₂），…，得到C的一列切线l₁，l₂，…，l_n，…，相应的切点分别为P₁，P₂，…，P_n，…．
（1）求P_n的坐标；
（2）设l_n到l_n+1的角为θ_n，求之值．

Answer

（1）欲求求Pn的坐标，关键是求在点Pn处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=Pn处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）欲求之值，先利用到角公式将tanθn表示出来，最后对分式的分子分母同除以同一个式子即可求得极限值．
【解析】
（1）设Pn（an，an3），过Pn作C的切线．
C在Pn处的切线ln的方程为：y=3an2（x-an）+an3，代入y=x3，
并整理得（x-an）2（x+2an）=0．
即x=an（舍去）或x=-2an．
由题意a1=1，an+1=-2a，从而an=（-2）n-1，（n∈N*）
即Pn（（-2）n-1，（-2）3（n-1））；
（2）ln的斜率kn=3an2=3•（-2）2（n-1）=3•4n-1．
ln+1的斜率kn+1=3•4n．
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