Question

曲线y=x（x+1）（2-x）上有一点P，它的坐标均为整数，且过P点的切线斜率为正数，求此点坐标及相应的切线方程．

Answer

先求出曲线的导数，然后根据切线斜率为正数确定x的范围，从而确定x可能的值，进而求出P点的坐标和相应的切线方程．
【解析】
∵y=-x3+x2+2x，
∴y′=-3x2+2x+2，
又∵P点的切线斜率为正数，
∴y′＞0，
解得＜x＜，
又∵x∈Z，
∴x=0或1，
∴P点坐标为（0，0）或（1，2），
∴切线斜率k=2或1，
∴切线方程为y=2x或y=x+1．