Question

设曲线S：y=x³-6x²-x+6，S在哪一点处的切线斜率最小？设此点为P（x，y）求证：曲线S关于P点中心对称．

Answer

欲求S在哪一点处的切线斜率最小，先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率的函数，根据二次函数的最值即可求得斜率的最小值．欲求证：曲线S关于P点中心对称，先看按向量（-2，+12）平移后得到的函数是不是奇函数，如果是奇函数，则问题解决．
证明：y′=3x2-12x-1当x=2时有最小值．故P：（2，-12）．
S在（2，-12）处的切线斜率最小，为-13．
又y=（x-2+2）3-6（x-2+2）2-（x-2+2）+6
=（x-2）3-13（x-2）-12
故曲线C的图象按向量（-2，+12）平移后方程为y′=x-13x′为奇数，关于原点对称，
故P（2，-12）为曲线S的对称中心．