Question

由y=0，x=8，y=x²围成的曲边三角形，在曲线弧OB上求一点M，使得过M所作的y=x²的切线PQ与OA，AB围成的三角形PQA面积最大．

Answer

首先根据已知条件求出切线方程，接着求出P，Q点的坐标，再列出关于面积的式子，利用导数求函数最值的方法求解即可．
【解析】
如图，设点M（t，t2），容易求出过点M的切线的斜率为2t，即切线方程为y-t2=2t（x-t），（0≤t≤8）
当t=0时，切线为y=0，△PQA不存在，所以（0＜t≤8）．
在切线方程中令y=0，得到P点的横坐标为，令x=8，得到Q点的纵坐标为16t-t2
所以S△PQA=（8-）（16t-t2），
令S′（t）=（8-）（8-）=0；
解可得得t=16（舍去）或t=；
由二次函数的性质分析易得，
t=是S△PQA=（8-）（16t-t2）的极大值点；
从而当t=时，面积S（t）有最大值Smax=S（）=，此时M（，）