Question

已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，其前n项和为S_n，且满足a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：；
（3）是否存在常数c（c≠0），使得数列为等差数列？若存在，试求出c；若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据题意，由等差数列的性质，有a1+a4=a2+a3=14，与a2•a3=45联立，计算可得数列{an}的通项公式；
（2）根据题意，将数列{an}的通项公式代入bn可得bn的通项公式，进而运算消项求和法，计算Tn，可以得证；
（3）首先计算Sn，代入数列，可得其通项公式，运用等差中项的性质分析，可得答案．
（1）【解析】
∵等差数列{an}中，公差d＞0，
∴（4分）
（2）∵
∴，（6分）
＞0
∴Tn+1＞Tn
∴故（8分）
（3），=，
由2c2=c1+c3得，化简得2c2+c=0，c≠0，
∴
反之，令，即得cn=2n，显然数列{cn}为等差数列，
∴当且仅当时，数列{cn}为等差数列．（12分）