Question

数列{a_n}，{b_n}分别满足（n∈N^*），a₁=1
（1）求证数列为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列的前n项和S_n；
（3）若数列{a_n}的前n项和为K_n，求证：当n≥3时，．

Answer

（1）先根据，两边取倒数等号也成立，进而可得，进而推断数列为等比数列，且首项为2，公比为2，进而求得数列{an}的通项公式；
（2）由（1）可得数列的通项公式，再利用错位相减法，求得Sn
（3）由（1）中的an可得Kn，又根据，代入Kn，即可证明原式．
【解析】
（1）证明：∵
∴
∵数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以可得
（2）由（1）可知，
所以Sn=1•21+2•22+3•23++（n-1）•2n-1+n•2n，2Sn=1•22+2•23+3•24++（n-1）•2n+n•2n+1，
两式相减化简可得，Sn=2+（n-1）•2n+1
（3）n≥3，，
可得n≥3，，此时