Question

如图，，双曲线M是以B、C为焦点且过A点．
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求双曲线M的方程；
（Ⅱ）设过点E（1，0）的直线l分别与双曲线M的左、右支交于
F、G两点，直线l的斜率为k，求k的取值范围．；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的直线l，是否存在k≠0使|OF|=|OG|若有求出k的值，若没有说明理由．（O为原点）

Answer

（1）以BC边的中点为原点，BC边所在直线为x轴，建立直角坐标系，则B，C坐标可得，设出A的坐标，进而可表示出，和，进而由，求得A点的横坐标和纵坐标，设双曲线方程标准方程，把A坐标代入，以及双曲线的焦距进而求得a和b，双曲线方程可得．
（2）当l⊥x轴时，l与双曲线无交点．当l不垂直x轴时，可设l的方程：y=k（x-1）与双曲线方程联立，消去y，进而根据判别式大于0求得k的范围．
（3）若|OF|=|OG|，三角形OFG中，设M是FG的中点，则有：OM⊥FG，由（2）可求的交点的横坐标之和，进而可表示出中点M的坐标，表示出直线OM和FG的斜率相乘，看结果是不是-1．
【解析】
（I）以BC边的中点为原点，BC边所在直线为x轴，
建立直角坐标系，
则，
，
，

，得
∴
设双曲线方程为
∴，∴
∴双曲线M的方程为；
（II）当l⊥x轴时，l与双曲线无交点．
当l不垂直x轴时，可设l的方程：y=k（x-1）
由，消去y，得（1-2k2）x2+4k2x-2（k2+2）=0
∵l与双曲线的左、右两支分别交于F（x1，y1），G（x2，y2），
则
（Ⅲ）若|OF|=|OG|，三角形OFG中，设M是FG的中点，
则有：OM⊥FG
由（II）易得，中点M
则应有：KOMKFG=-1，即，显然不成立，
所以不存在这样的k值使|OF|=|OG|．