Question

已知二次函数y=g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=g（x）在x=-1处取得极小值m-1（m≠0）．设．
（1）若曲线y=f（x）上的点P到点Q（0，2）的距离的最小值为，求m的值；
（2）k（k∈R）如何取值时，函数y=f（x）-kx存在零点，并求出零点．

Answer

（1）先根据二次函数的顶点式设出函数g（x）的解析式，然后对其进行求导，根据g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行求出a的值，进而可确定函数g（x）、f（x）的解析式，然后设出点P的坐标，根据两点间的距离公式表示出|PQ|，再由基本不等式表示其最小值即可．
（2）先根据（1）的内容得到函数y=f（x）-kx的解析式，即（1-k）x2+2x+m=0，然后先对二次项的系数等于0进行讨论，再当二次项的系数不等于0时，即为二次方程时根据方程的判别式进行讨论即可得到答案．
【解析】
（1）依题可设g（x）=a（x+1）2+m-1（a≠0），则g'（x）=2a（x+1）=2ax+2a；
又g'（x）的图象与直线y=2x平行∴2a=2∴a=1
∴g（x）=（x+1）2+m-1=x2+2x+m，，
设P（xo，yo），则=
当且仅当时，|PQ|2取得最小值，即|PQ|取得最小值
当m＞0时，解得
当m＜0时，解得

（2）由（x≠0），得（1-k）x2+2x+m=0（*）
当k=1时，方程（*）有一解，函数y=f（x）-kx有一零点；
当k≠1时，方程（*）有二解⇔△=4-4m（1-k）＞0，
若m＞0，，
函数y=f（x）-kx有两个零点，即；
若m＜0，，
函数y=f（x）-kx有两个零点，即；
当k≠1时，方程（*）有一解⇔△=4-4m（1-k）=0，，
函数y=f（x）-kx有一零点
综上，当k=1时，函数y=f（x）-kx有一零点；
当（m＞0），或（m＜0）时，
函数y=f（x）-kx有两个零点；
当时，函数y=f（x）-kx有一零点．