Question

设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f：V→V，a∈V，记a的象为f（a）．若映射f：V→V满足：对所有a、b∈V及任意实数λ，μ都有f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），则f称为平面M上的线性变换．现有下列命题：
①设f是平面M上的线性变换，a、b∈V，则f（a+b）=f（a）+f（b）；
②若e是平面M上的单位向量，对a∈V，设f（a）=a+e，则f是平面M上的线性变换；
③对a∈V，设f（a）=-a，则f是平面M上的线性变换；
④设f是平面M上的线性变换，a∈V，则对任意实数k均有f（ka）=kf（a）．
其中的真命题是    （写出所有真命题的编号）

Answer

根据题意，对每一个命题进行推导，看是否和已知条件相符．
【解析】
①：令λ=μ=1，则f（+）=f（）+f（）故①是真命题，
同理，④：令λ=k，μ=0，则f（k）=kf（）故④是真命题，
③：∵f（）=-，则有f（）=-，
f（λ+μ）=-（λ+μ）=λ•（-）+μ•（-）=λf）+μf（）是线性变换，
故③是真命题，
②：由f（）=+，则有f（）=+，
f（λ+μ）=（λ+μ）+=λ•（+）+μ•（+）-=λf（）+μf（）-
∵是单位向量，≠，故②是假命题
故答案为①③④．