Question

已知动圆P过点并且与圆相外切，动圆圆心P的轨迹为W，轨迹W与x轴的交点为D．
（Ⅰ）求轨迹W的方程；
（Ⅱ）设直线l过点（m，0）（m＞2）且与轨迹W有两个不同的交点A，B，求直线l斜率k的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若，证明直线l过定点，并求出这个定点的坐标．

Answer

（1）由题意可知|PM|-|PN|=4由双曲线的定义可知W是以M，N为焦点的双曲线的右支，则曲线方程可得．
（2）设出直线l的方程，与双曲线方程联立消去y，设A（x1，y1）．B（x2，y2），根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，x1，x2和判别式确定k的范围．
（3）利用A，B的坐标表示出，根据结果为0整理求得m，则直线的方程可得，根据直线方程可知直线l过定点，定点坐标为．
【解析】
（Ⅰ）由已知，
∴点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，且．
∴轨迹W的方程为．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-m）（m＞2，k≠0）．
由得（1-4k2）x2+8k2mx-4k2m-4=0．
设A（x1，y1）．B（x2，y2），
则，①
，②
△=64k4m2+4（1-4k2）（4k2m2+4）＞0．③
由①②③得4k2＞1．
∴直线l斜率k的取值范围是．
（Ⅲ）=（x1-2，y1）•（x2-2，y2）
=（x1-2）（x2-2）+y1y2=x1x2-2（x1+x2）+4+k（x1-m）k（x2-m）
=（1+k2）x1x2-（2+mk2）（x1+x2）+4+k2m2
=．
∵=0，
∴=0，
∴（1+k2）（4k2m2）-（2+mk2）8mk2+（4+k2m2）（4k2-1）=0，
∴20k2-16k2m+3k2m2=0．
∵k≠0，
∴3m2-16m+20=0，解得，或m=2（舍）．
∴直线l的方程为．
∴直线l过定点，定点坐标为．