Question

已知幂函数,且在上单调递增.

(1)求实数的值,并写出相应的函数的解析式;

(2)若在区间上不单调,求实数的取值范围;

(3)试判断是否存在正数,使函数在区间上的值域为若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

Answer

(1) 或, (2)  (3)

【解析】

试题分析：(1)由题意知,解得:.   2分

又 ∴或,   3分

分别代入原函数,得.   4分

(2)由已知得.   5分

要使函数不单调，则，则.   8分

(3)由已知,.    9分

法一:假设存在这样的正数符合题意,

则函数的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为,

因而,函数在上的最小值只能在或处取得,

又,

从而必有,解得.

此时,,其对称轴,

∴在上的最大值为,符合题意.

∴存在,使函数在区间上的值域为14分法二:假设存在这样的正数符合题意,

由(1)知,

则函数的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为,

考点：幂函数及二次函数单调性最值