Question

如图，已知多面体的底面是边长为的正方形，底面，，且．

（Ⅰ ）求多面体的体积；

（Ⅱ ）求证：平面EAB⊥平面EBC；

（Ⅲ）记线段CB的中点为K，在平面内过K点作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．

Answer

（Ⅰ）． （Ⅱ ）见解析.（Ⅲ）利用三角形中位线定理，取线段DC的中点，连接即为所求．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）连接ED，利用“分割法”计算得．（Ⅱ ）根据ABCD为正方形，得到AB⊥BC. 利用EA⊥平面ABCD，得到BC⊥EA. 证得BC⊥平面EAB.

根据BC⊂平面EBC，得到平面EAB⊥平面EBC.（Ⅲ）取线段DC的中点；连接，则直线即为所求．

试题解析：（Ⅰ）如图，连接ED，

∵底面且，∴底面

∴

∵

∴面                 1分

∴   2分

      3分

∴．         5分

（Ⅱ ）∵ABCD为正方形，∴AB⊥BC. 6分

∵EA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

∴BC⊥EA.        7分

又AB∩EA＝A，∴BC⊥平面EAB.    8分

 又∵BC⊂平面EBC，

∴平面EAB⊥平面EBC.    10分

（Ⅲ）取线段DC的中点；连接，则直线即为所求．        11分

图上有正确的作图痕迹            12分

考点：1、平行关系，2、垂直关系，3、体积计算.