Question

在数列和等比数列中，，，．

（Ⅰ）求数列及的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前项和．

Answer

（Ⅰ），；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先利用数列是等比数列，结合，计算出数列的首项和公比，从而确定等比数列的通项公式，然后间接地求出数列的通项公式；解法二是先由数列是等比数列，结合定义证明数列是等差数列，然后将题设条件化为是有关数列的首项和公差的二元一次方程组，求出首项和公差的值进而求出数列的通项公式，最后确定等比数列的通项公式；

（Ⅱ）先根据，即数列的每一项均为等差数列中的项乘以等比数列中的项，结合利用错位相减法即可求出数列的前项和.

试题解析：解法一：（Ⅰ）依题意，，      2分

设数列的公比为，由，可知，   3分

由，得，又，则，   4分

故，   5分

又由，得．      6分

（Ⅱ）依题意．      7分

 ，   ①

则   ②  9分

①-②得，    11分

即，故．      12分

解法二：（Ⅰ）依题意为等比数列，则（常数），

由，可知，      2分

由，

得（常数），故为等差数列，    4分

设的公差为，由，，得，

故．    6分

（Ⅱ）同解法一．

考点：等差数列通项公式、等比数列的通项公式、错位相减法