Question

如图，在长方体中，已知上下两底面为正方形，且边长均为1；侧棱，为中点，为中点，为上一个动点.

（Ⅰ）确定点的位置，使得；

（Ⅱ）当时，求二面角的平面角余弦值.

Answer

（Ⅰ）为的四等分点；（Ⅱ） .

【解析】

试题分析：（Ⅰ）用向量法的解题步骤是建立恰当的空间直角坐标系，写出相应的点的坐标及向量的坐标，利用向量的数量积为0，则这两个向量垂直，得出结论；（Ⅱ）二面角的问题，找到两个平面的法向量的夹角，利用向量的夹角公式求解.

试题解析：方法一：

(Ⅰ)如图，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则

易得        2分

由题意得,设

又

则由得，

∴,得为的四等分点.         6分

(Ⅱ)易知平面的一个法向量为，设平面的法向量为

则,得，取，得，       10分

∴，∴二面角的平面角余弦值为.12分

方法二：

（Ⅰ）∵在平面内的射影为，且四边形为正方形，为中点， ∴

同理，在平面内的射影为，则

由△～△，  ∴,得为的四等分点.         6分

（Ⅱ）∵平面,过点作，垂足为；

连结，则为二面角的平面角；          8分

由，得,解得

∴在中，,

∴；∴二面角的平面角余弦值为.   12分

考点：线面垂直的判定定理,二面角,线面成角的计算.