Question

已知正项数列的首项，前项和满足．

（Ⅰ）求证：为等差数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer

(Ⅰ)；(Ⅱ )．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求证为等差数列，只需证等于常数，由，而，代入整理可得为等差数列，从而求出数列的通项公式；（Ⅱ）不等式恒成立，转化为求的最大值，而的前项和为可用拆项相消法求得的最大值，从而解一元二次不等式得实数的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）证明：当时，，又，，因为， ， ，  即，，所以数列是首项为，公差为的等差数列．

由此可得，由，当时，也适合，所以  ；

（Ⅱ）因为，

所以， ， ，对任意的，不等式恒成立，，解得，

所以对任意的，不等式恒成立，实数的取值范围．

考点：1、等差数列的证明，2、与的关系，3、求数列的通项公式，4、数列求和，5、解一元二次不等式．