Question

设函数F(x )=x²+aln(x+1)

(I)若函数y=f(x)在区间[1,+∞）上是单调递增函数，求实数a的取值范围；

(II)若函数y=f(x)有两个极值点x₁,x₂且，求证: .

Answer

（Ⅰ）； (II)见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用导数，先对函数进行求导，让，在[1,+∞）上是恒成立的，求解可得a的取值范围；(II)令，依题意方程在区间有两个不等的实根，记，则有，得，然后找的表达式，利用导数求此函数单调性，可得结论.

试题解析：（Ⅰ）在区间上恒成立，

即区间上恒成立，        1分

.      3分

经检验，  当时， ，时，，

所以满足题意的a的取值范围为.      4分

（Ⅱ）函数的定义域，，依题意方程在区间有两个不等的实根，记，则有，得.       6分

法一：，，，

，令，    8分

，， ,

因为，存在，使得，

-

0

+

，，，所以函数在为减函数，   10分

即        12分

法二:6分段后面还有如下证法，可以参照酌情给分.

【证法2】为方程的解，所以,

∵， ，，∴,

先证，即证（）,

在区间内，，内，所以为极小值，,

即，∴成立；       8分

再证，即证,

,

令，        10分

,

,

，，,

∴，在为增函数．

．

综上可得成立．         12分

考点：1、导数的运算及性质；2、导数与函数的综合应用.