Question

(本小题满分12分）

已知函数f(x)=e^x+ax-1(e为自然对数的底数).

（Ⅰ）当a=1时,求过点（1,f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；

(II)若f(x)x²在(0,1 )上恒成立,求实数a的取值范围.

Answer

（Ⅰ） ；(II) ．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用导数先求过点（1,f(1))处的切线的方程，再求切线与坐标轴的交点坐标，易得三角型面积；(II) 由得，令，利用导数求函数在上的单调性，便可得结论．

试题解析：（Ⅰ）当时，，，，，

函数在点处的切线方程为，即 ，         2分

设切线与x、y轴的交点分别为A，B．

令得，令得，∴， ，．

在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积为．        4分

（Ⅱ）由得，

令，

令，         6分

，∵，∴，在为减函数，

∴   ，       8分

又∵，∴∴在为增函数，      10分

，因此只需．              12分

考点：1、利用导数求切线方程；2、利用导数求函数的单调性；3、导数运算与函数的综合运用.