Question

如图，直三棱柱中，AB=BC，，Q是AC上的点，AB₁//平面BC₁Q.

（Ⅰ）确定点Q在AC上的位置;

（Ⅱ）若QC₁与平面BB₁C₁C所成角的正弦值为，求二面角Q－BC₁—C的余弦值.

Answer

（Ⅰ）Q为AC的中点; （Ⅱ）二面角Q-BC1-C的余弦值为．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）借助直线AB1∥平面BC1Q，利用面面平行的性质定理可知AB1∥PQ，然后确定点Q的位置；（Ⅱ）利用空间向量的方法求解，分别求出面BC1C的法向量为m＝(1，0，0)和 平面C1BQ的法向量n＝(1，－，2)，然后利用向量的夹角公式计算二面角Q-BC1-C的余弦值.

试题解析：（Ⅰ）连接B1C交BC1于点P，连接PQ．

因为直线AB1∥平面BC1Q，AB1Ì平面AB1C，平面BC1Q∩平面AB1C＝PQ，

所以AB1∥PQ．

因为P为B1C的中点，且AB1∥PQ，

所以，Q为AC的中点．         

（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系．

设AB＝BC＝a，BB1＝b，则

面BC1C的法向量为m＝(1，0，0)．

B(0，0，0)，C1(0，a，b)，Q(a， a，0)，

＝(0，a，b)，＝(－a， a，b)．

因QC1与面BC1C所成角的正弦值为，

故＝＝，解得b＝a.

设平面C1BQ的法向量n＝(x，y，z)，则

即取n＝(1，－，2)．

所以有cosám，nñ＝＝．

故二面角Q-BC1-C的余弦值为．     

考点：1.平行关系的证明与判断；2.二面角；3.空间向量法.