Question

如图已知：菱形所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，，点分别是线段的中点. 

(1)求证：平面平面;

(2)试问在线段上是否存在点，使得平面,若存在,求的长并证明；若不存在，说明理由.

Answer

（1）证明详见解析；（2）存在，.

【解析】

试题分析：（1）先证，由面面垂直的性质定理得到平面，所以，由勾股定理证，所以由线面垂直的判定定理得平面，所以面面垂直的判定定理得平面平面；（2）先证四边形是平行四边形，得，由线面平行的判定定理得平面.

试题解析：（1）证明：在菱形中，因为，所以是等边三角形，

又是线段的中点，所以，           1分

因为平面平面,所以平面,所以；    3分

在直角梯形中，，得到：,从而,所以,所以平面 5分，

又平面,所以平面平面  7分

（2）存在，

证明：设线段的中点为，

则梯形中，得到：，  9分

又，所以，

所以四边形是平行四边形，所以，

又平面，平面,所以平面。       12分

考点：1.面面垂直的判定定理；2.线面垂直的判定定理；3.线面平行的判定定理.