Question

在平面直角坐标系中，动点到两条坐标轴的距离之和等于它到点的距离，记点的轨迹为曲线.

(I) 给出下列三个结论：

①曲线关于原点对称；

②曲线关于直线对称；

③曲线与轴非负半轴，轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；

其中，所有正确结论的序号是_____;

(Ⅱ)曲线上的点到原点距离的最小值为______.

Answer

②③； 

【解析】

试题分析：(I)P点到两坐标轴距离分别为 曲线方程为 ，该方程中用分别替换原方程中的方程改变，所以曲线不关于原点对称；而用分别替换原方程中的方程不变，所以曲线关于直线对称．曲线与x轴非负半轴，轴非负半轴围成的封闭图形即为与x轴非负半轴，轴非负半轴围成的封闭图形，由化简得：，它的图象可由向左平移一个单位，再向下平移1个单位而得到，它的图象与两坐标轴的交点为，结合图象可知： ，故正确的序号为②③．(Ⅱ) 由得： ，即，当时，该式可化简为；当时，该式可化简为

，即或，进而可以画出曲线，结合图象可知，曲线与直线 在第一象限的交点距离原点最近，由解得：，故最短距离为 ．

考点：曲线与方程．