Question

设数列的前项和为.已知,,.

(Ⅰ) 求的值；

(Ⅱ) 求数列的通项公式；

(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.

Answer

(Ⅰ) 4(Ⅱ)  (Ⅲ)见解析

【解析】(Ⅰ) 依题意,,又,所以；

(Ⅱ) 当时,,

两式相减得

整理得,即,又

故数列是首项为,公差为的等差数列,

所以,所以.

(Ⅲ) 当时,；当时,；

当时,,此时

综上,对一切正整数,有.

(1)直接将n换为2代入递推式求解；（2）借助进行递推转化，进而构造数列为等差数列是解题的关键，考查了学生对式子的操作能力和转化能力.(3)借助放缩法进行证明，放缩的关键是

【考点定位】本题考查数列的通项公式和数列求和问题，以及不等式的证明.