Question

已知函数（是自然对数的底数，）.

（Ⅰ）求的单调区间、最大值；

（Ⅱ）讨论关于的方程根的个数。

Answer

解法一 （Ⅰ）的单调递增区间为，单调递减区间为，

（Ⅱ）当即时，函数的图象有两个交点，即方程有两个根.

当即时，函数的图象有一个交点，即方程有一个根.

显然当时，方程没有根.

【解析】（Ⅰ）

当时，；当时

所以的单调递增区间为，单调递减区间为，

（Ⅱ）

通过图象可对进行讨论：

当即时，函数的图象有两个交点，即方程有两个根.

当即时，函数的图象有一个交点，即方程有一个根.

显然当时，方程没有根.

解法二 （Ⅰ），

由，解得，

当时，，单调递减

所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，

最大值为

（Ⅱ）令   

（1）当时，，则，

所以，

因为， 所以

因此在上单调递增.

（2）当时，当时，，则，

所以，

因为，，又

所以 所以

因此在上单调递减.

综合（1）（2）可知 当时，，

当，即时，没有零点，

故关于的方程根的个数为0；

当，即时，只有一个零点，

故关于的方程根的个数为1；

当，即时，

①当时，由（Ⅰ）知

要使，只需使，即；

②当时，由（Ⅰ）知

；

要使，只需使，即；

所以当时，有两个零点，故关于的方程根的个数为2；

综上所述：

当时，关于的方程根的个数为0；

当时，关于的方程根的个数为1；

当时，关于的方程根的个数为2.

【考点定位】本题考查了函数的单调性、函数的最值等主干知识，考查了数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想的综合应用.第一问的研究为第二问进行数形结合铺平了“道路”，使的相对位置关系更明晰.