Question

在平面内，不等式确定的平面区域为，不等式组确定的平面区域为.

（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”. 在区域中任取3个“整点”，求这些“整点”中恰好有2个“整点”落在区域中的概率；

（2）在区域中每次任取一个点，连续取3次，得到3个点，记这3个点落在区域中的个数为，求的分布列和数学期望．

Answer

（1）（2）的分布列为

0

1

2

3

∴的数学期望：.

【解析】

试题分析：（1）依题可知平面区域的整点为：共有13个，上述整点在平面区域内的为：共有3个，

∴.  

（2）依题可得，平面区域的面积为，设扇形区域中心角为，则得，平面区域与平面区域相交部分的面积为.

在区域任取1个点，则该点在区域的概率为，随机变量的可能取值为：.

，         ，

，  ，

∴的分布列为

0

1

2

3

∴的数学期望：. 

考点：古典概型概率及分布列期望