Question

设二次函数满足下列条件：

①当时, 的最小值为0，且恒成立；

②当时，恒成立．

（I）求的值；

（Ⅱ）求的解析式；

（Ⅲ）求最大的实数m（m>1），使得存在实数t，只要当时，就有成立

Answer

(1) f(1)="2" ；(2) f(x)= (x+1)2； (3) m的最大值为9.

【解析】

试题分析：(1)在②中令x=1,有2≤f(1)≤2,故f(1)="2"

(2)由①知二次函数的关于直线x=-1对称,且开口向上

故设此二次函数为f(x)=a(x+1)2,(a>0),∵f(1)=2,∴a=

∴f(x)= (x+1)2

(3)假设存在t∈R,只需x∈[1,m],就有f(x+t)≤2x.

f(x+t)≤2x(x+t+1)2≤2xx2+(2t-2)x+t2+2t+1≤0.

令g(x)=x2+(2t-2)x+t2+2t+1,g(x)≤0,x∈[1,m].

∴m≤1－t+2≤1－(－4)+2=9

t=-4时,对任意的x∈[1,9]

恒有g(x)≤0, ∴m的最大值为9.（画图用数形结合视解答情况给分）

考点：本题主要考查二次函数的图象和性质，简单不等式组的解法。