Question

设函数

（1）设，，证明：在区间内存在唯一的零点；

（2）设为偶数，，，求的最小值和最大值；

（3）设，若对任意，有，求的取值范围；

Answer

（1）在区间内存在唯一的零点.

（2）（3）。

【解析】

试题分析：（1）由，，得 

对恒成立，从而在单调递增，

又，，

即在区间内存在唯一的零点.       分

（2）因为 

 由线性规划

（或，）  分

（3）当时，

（Ⅰ）当或时，即或，此时

只需满足，从而

（Ⅱ）当时，即，此时

只需满足，即

解得：，从而

（Ⅲ）当时，即，此时

只需满足，即

解得：，从而

综上所述：    分

考点：本题主要考查集合的概念，函数与方程，导数研究函数单调性的应用，指数函数性质，不等式解法。