Question

 是双曲线 上一点，、分别是双曲线的左、右顶点，直线，的斜率之积为.

(1)求双曲线的离心率；

(2)过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于，两点，为坐标原点，为双曲线上一点，满足，求的值．

Answer

(1) e＝.  (2)λ＝0或λ＝－4.

【解析】

试题分析：(1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线＝1上，有＝1，        1分

由题意又有·＝，                       2分

可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，则e＝.                  4分

(2)联立，得4x2－10cx＋35b2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)

则①                          6分

设，，即

又C为双曲线上一点，即－5＝5b2，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2  。7分

化简得：λ2(－5)＋(－5)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2             。9分

又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以－5＝5b2，－5＝5b2

由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2

得λ2＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4.                   12分

考点：本题主要考查双曲线标准方程及其几何性质，直线与双曲线的位置关系，平面向量的线性运算。