Question

已知数列的首项为，对任意的，定义.

（Ⅰ） 若，

(i)求的值和数列的通项公式；

(ii)求数列的前项和；

（Ⅱ）若，且，求数列的前项的和.

Answer

(1) ,,

(2) 当为偶数时，；当为奇数时，

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 【解析】
(i),,     ………………2分

由得

当时，

=………4分

而适合上式，所以.………………5分

(ii)由(i)得：     ……………6分

……………7分

                             …………8分

(Ⅱ)【解析】
因为对任意的有，

所以数列各项的值重复出现，周期为.        …………9分

又数列的前6项分别为，且这六个数的和为8. ……………10分

设数列的前项和为，则，

当时，

，       ……………11分

当时，

 ，                    …………12分

当时

所以，当为偶数时，；当为奇数时，. ……………13分

考点：数列的通项公式，数列的求和