Question

设函数的定义域为D，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为M上的高调函数. 

现给出下列命题：

① 函数为R上的1高调函数；

② 函数为R上的高调函数；

③ 如果定义域为的函数为上高调函数，那么实数 的取值范围是；

④ 函数为上的2高调函数。

其中真命题的个数为

A．0                B．1                C．2                D．3

Answer

D

【解析】

试题分析：首先理解“高调函数”的定义：函数的定义域为D，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为M上的高调函数.

据此研究四个函数：

对于①，即f（x）=()x。f（x+l）=()x+l，要使f（x+l）≥f（x），需要()x+l≥()x恒成立，只需l≤0；所以①函数为R上的1高调函数；不对；

对于②，f（x+1））=sin2（x+1）≥sin2x=f（x），当l=π时恒成立；所以函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数，

所以②对;

对于③，f（x+m）=（x+m）2，f（x）=x2,令（x+m）2≥x2，即2mx+m2≥0在恒成立，

∴m>0且2m（-1）+m2≥0，解得m≥2，故③对;

对于④ 函数，若其为2高调函数，

则由≥，在恒成立，

得在恒成立，而此恒成立，所以④对

故正确的命题个数是3个，

故选D。

考点：本题主要考查学生的阅读能力， 常见函数的性质。