Question

已知：函数，其中.

（Ⅰ）若是的极值点，求的值；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围.

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ）当时，的增区间是，减区间是；

当时，的增区间是，减区间是和；

当时，的减区间是；

当时，的增区间是；减区间是和.

（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）.  

依题意，令，解得 .

经检验，时，符合题意.                                             ……4分

（Ⅱ）① 当时，. 

故的单调增区间是；单调减区间是.                      ……5分

② 当时，令，得，或.

当时，与的情况如下：

↘

↗

↘

所以，的单调增区间是；单调减区间是和.

当时，的单调减区间是.

当时，，与的情况如下：

↘

↗

↘

所以，的单调增区间是；单调减区间是和.

③ 当时，的单调增区间是；单调减区间是.

综上，当时，的增区间是，减区间是；

当时，的增区间是，减区间是和；

当时，的减区间是；

当时，的增区间是；减区间是和.   ……11分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知 时，在上单调递增，

由，知不合题意.

当时，在的最大值是，

由，知不合题意.

当时，在单调递减，

可得在上的最大值是，符合题意.     

所以，在上的最大值是时，的取值范围是.       ……14分

考点：本小题主要考查函数极值的应用、利用导数求函数的单调性和已知最值求参数的取值范围，考查学生分类讨论思想的应用和逻辑推理能力.