Question

已知函数f（x）=3^x+k（k为常数），A（－2k，2）是函数y= f ^－1（x）图象上的点.

（1）求实数k的值及函数f ^－1（x）的解析式；

（2）将y= f ^－1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）的图象，若2 f ^－1（x+－3）－g（x）≥1恒成立，试求实数m的取值范围.

Answer

（1）f －1（x）=log3（x+3）（x＞－3）.（2）m≥.

【解析】主要考查指数函数、对数函数互为反函数关系、反函数概念及反函数求法。

【解析】
（1）∵A（－2k，2）是函数y= f －1（x）图象上的点，

∴B（2，－2k）是函数y=f（x）上的点.

∴－2k=32+k.∴k=－3.

∴f（x）=3x－3.

∴y= f －1（x）=log3（x+3）（x＞－3）.

（2）将y= f －1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）=log3x（x＞0），要使2 f －1（x+－3）－g（x）≥1恒成立，即使2log3（x+）－log3x≥1恒成立，所以有x++2≥3在x＞0时恒成立，只要（x++2）min≥3.

又x+≥2（当且仅当x=，即x=时等号成立），∴（x++2）min=4，即4≥3.∴m≥.