Question

已知函数．

（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；

（2）若函数在处取得极值，对,恒成立，

求实数的取值范围.

Answer

（1）当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点（2）

【解析】本题考查利用导数研究函数的极值，考查恒成立问题，着重考查分类讨论思想与构造函数思想的应用，体现综合分析问题与解决问题能力，属于难题．

（Ⅰ）由f（x）=ax-1-lnx可求得f′（x）对a分a≤0与a＞0讨论f′（x）的符号，从而确定f（x）在其定义域（0，+∞）单调性与极值，可得答案；

（Ⅱ）函数f（x）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f（x）≥bx-2构造函数g（x）= f（x）-（bx-2），g（x）min即为所求的b的值．

【解析】
（Ⅰ），…………1分

当时，在上恒成立，函数 在单调递减，

∴在上没有极值点；……………2分

当时，得，得，

∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．…4分

∴当时在上没有极值点，

当时，在上有一个极值点．………………6分

（Ⅱ）∵函数在处取得极值，∴，

∴，………………8分

令，可得在上递减，在上递增，…………11分

∴，即．………………13分