Question

(本小题满分12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分别为PB，PD的中点．

(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；

(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．

Answer

 (Ⅰ)见解析；(Ⅱ)所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为．

【解析】第一问在平面ABCD中找到直线BD平行于MN，利用线面平行的判定定理可以证明；第二问则借助空间向量工具，建立合适的空间坐标系，利用向量求出夹角。

【解析】
(Ⅰ)如图连接BD．

∵M，N分别为PB，PD的中点，

∴在PBD中，MN∥BD．

又MN平面ABCD，        

∴MN∥平面ABCD；

(Ⅱ)如图建系：

A(0，0，0)，P(0，0，)，M(，，0)，

N(，0，0)，C(，3，0)．                                 

设Q(x，y，z)，则．      

∵，∴．

由，得：．   即：．

对于平面AMN：设其法向量为．

∵．

则．  ∴．

同理对于平面AMN得其法向量为．

记所求二面角A—MN—Q的平面角大小为，

则．

∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为．