Question

已知关于x的方程ax²－2(a＋1)x＋a－1＝0，探究a为何值时，

(1)方程有一正一负两根；

(2)方程的两根都大于1；

(3)方程的一根大于1，一根小于1

Answer

(1) 0＜a＜1

(2) 不存在实数a，使方程的两根都大于1

(3) a＞0

【解析】【解析】
(1)因为方程有一正一负两根，

所以由根与系数的关系得，

解得0＜a＜1.即当0＜a＜1时，方程有一正一负两根．

(2)法一：当方程两根都大于1时，函数y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1的大致图象如图(1)(2)所示，

所以必须满足，或，不等式组无解．

所以不存在实数a，使方程的两根都大于1

法二：设方程的两根分别为x1，x2，由方程的两根都大于1，得x1－1＞0，x2－1＞0，

即

⇒.

所以⇒ ，不等式组无解．

即不论a为何值，方程的两根不可能都大于1.

(3)因为方程有一根大于1，一根小于1，函数y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1的大致图象如图(3)(4)所示，

所以必须满足或，解得a＞0.

∴即当a＞0时，方程的一个根大于1，一个根小于1.