Question

（本小题满分9分）平行四边形ABCD中，AB=2，AD=，且，以BD为折线，把折起，使平面，连AC.

（Ⅰ）求证：       （Ⅱ）求二面角B-AC-D平面角的大小；

（Ⅲ）求四面体ABCD外接球的体积.

Answer

（1）见解析；（2）二面角B-AC-D的大小是；（3） .

【解析】(I)通过证明即可.

(II)由于本题容易建系所以可以通过向量法求解二面角,先求出二面角二个面的法向量,然后根据法向量的夹角与二面角相等或互补求二面角.

(III)解本小题的关键是确定球心位置在AD的中点.

【解析】
在中，

，     易得，

面面    面              …3分

在四面体ABCD中，以D为原点，DB为轴，DC为轴，过D垂直于平面BDC的射线为轴，建立如图空间直角坐标系.

z

则D（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（2，0，2）

（2）设平面ABC的法向量为，而，

由得：，取 .

再设平面DAC的法向量为，而，

由得：，取，

所以，所以二面角B-AC-D的大小是      …7分

（3）由于均为直角三角形，故四面体ABCD的外接球球心在AD中点，

又，所以球半径，得 .     …9分