Question

已知函数 y = f (x) 是定义在R上的增函数，函数 y = f (x－1) 的图象关于点 (1, 0)对称. 若对任意的 x, y∈R，不等式 f (x²－6x + 21) + f (y²－8y) < 0 恒成立，则当 x > 3 时，x² + y² 的取值范围是（　　）

A.(3, 7)       B.(9, 25)        C.(13, 49)      D. (9, 49)

Answer

C

【解析】【解析】
∵函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，

∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，

即函数y=f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），

又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x2-6x+21）+f（y2-8y）＜0恒成立

∴（x2-6x+21）＜-f（y2-8y）=f（8y-y2）恒成立，

∴x2-6x+21＜8y-y2，

∴（x-3）2+（y-4）2＜4恒成立，

设M （x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，

则d=表示区域内的点和原点的距离．

由下图可知：d的最小值是OA=

OB=OC+CB，5+2=7，

当x＞3时，x2+y2的范围为（13，49）

故答案为：（13，49）