Question

（本小题满分14分）

设椭圆的离心率为=,点是椭圆上的一点,且点到椭圆两焦点的距离之和为4．

(1)求椭圆的方程；

（2）椭圆上一动点关于直线的对称点为,求的取值范围．

Answer

(1) ．（2）的取值范围为．

【解析】(1)由椭圆的定义可知a=2,再根据e，可得,从而可求出b,椭圆C的方程确定.

（2）因为点关于直线的对称点为， 然后根据垂直平分建立两个方程，从而可利用x0,y0表示x1,y1.,再根据点P在椭圆上，可得到x0的取值范围，从而可得到，的取值范围.

【解析】
(1)依题意知,    

∵,∴． ………………………………4分

∴所求椭圆的方程为． ……………………………………………6分

（2）∵ 点关于直线的对称点为，

∴  ……………………………………………8分

解得：，．……………………………………………10分

∴．……………………………………………12分

∵ 点在椭圆:上,∴, 则．

∴的取值范围为．……………………………………………14分