Question

（本题满分12分）

如图1,在直角梯形中,,,, 为线段的中点.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.

(Ⅰ)  求证:平面；

(Ⅱ)  求二面角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）二面角的余弦值为.

【解析】(I)可证, ∵面面ABC,从而把面面垂直转化为线面垂直.证得平面ACD.

(II) 取的中点，的中点,连结,， 然后证明和, 得到

二面角的平面角, 问题到此基本得以解决.也可利用向量法求解.

解法一：（Ⅰ）在图1中,可得,从而,

故                        ……………………………………………-3分

∵面面,面面,面,

从而平面……………………………………………6分

（Ⅱ）取的中点，的中点,连结,

∵是的中点  是的中位线,是的中

位线,∴,

又（Ⅰ）可知平面

 ∴平面

∵平面 ∴

又  ∴

连结,∵ ∴平面

又平面， ∴

∴是二面角的平面角……………………………………………9分

在中，,,∴

∴

∴二面角的余弦值为.……………………………………………12分

解法二: （Ⅰ）在图1中,可得,从而,

故                      ……………………………………………2分

取中点连结,则,又面面,

面面,面,从而平面,…………………………4分

∴                                                 

又,,

∴平面              ……………………………………………6分

（Ⅱ）建立空间直角坐标系如图所示,

则,,,……8分

设为面的法向量,

则即,解得

令,可得……………………………10分

又为面的一个法向量

∴

∴二面角的余弦值为.…………………12分