Question

（本小题满分12分）

如图一所示，边长为1的正方体中，分别为的中点。

  

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若为的中点，证明：；

（Ⅲ）如图二所示为一几何体的展开图，沿着图中虚线将它们折叠起来，所得几何体的体积为，若正方体的体积为，求的值。

Answer

（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ）证明：见解析；（Ⅲ）．

【解析】本试题主要是考查了空间中点线面的位置关系的综合运用，求解线面平行和线线垂直的问题，以及体积的运算的综合运用。

（1）取的中点，连接，，然后借助于平行四边形得到线线平行，从而证明线面平行。

（2）要证明线线垂直，关键是证明线面垂直，然后运用线面垂直的性质定理得到线线垂直的证明。

（3），该几何体为有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥，即四棱锥的高为1，底面是边长为1的正方形，因此可以利用整体间的关系的得到比值。

（Ⅰ）证明：取的中点，连接，，

∵F、H分别是的中点，

∴且，

∵在正方体中，，

又分别为的中点，

∴，

∴四边形FHBE为平行四边形，

∴，

又∵，

∴；………………………………………………………………………4分

（Ⅱ）证明：取BC中点I，连接GI，AI，

在正方形ABCD中，E，I分别为AB，BC的中点，

∴，

∵

∴，

又，

∴，又，

∴

由四边形为平行四边形得，

∴；……………………………………………………………………………8分

（Ⅲ）如图二所示，该几何体为有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥，即四棱锥的高为1，底面是边长为1的正方形，

∴，又，

∴．…………………………………………………………………………………12分