Question

（本小题满分12分）

已知函数 （是自然对数的底数，）.

（1）当时，求的单调区间；

（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围；

（3）证明对一切恒成立.

Answer

（1）在区间上单调递增，在区间上单调递减

（2）的范围是

（3）证明见解析

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）因为函数 ，利用导数，判定导数的符号与函数单调性的关系得到结论。

（2）由题意得当时，恒成立。然后分离参数的思想得到参数a的取值范围。

（3）令得，，

所以在上为减函数，对于任意，都有，故有

即从而得证。

【解析】
（1）当时，，

由，……………………………………………..4分

所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减。

（2），

由题意得当时，恒成立。

令，有，得，

所以的范围是…………………………………………8分

（3）令得，，

所以在上为减函数，对于任意，都有，故有

即

即．                           ………12分