Question

如图，直三棱柱，，点M，N分别为和的中点。

   (Ⅰ)证明：∥平面;

   (Ⅱ)若二面角为直二面角，求的值。

Answer

（1）见解析          （2）

【解析】（1）证法一：连结，由已知

AB=AC，三棱柱为直三棱柱，所以M为中点，

又因为N为的中点，所以∥.

又,,因此∥

证法二：取中点P，连结MP,NP，而M，N分别为的中点，所以MP∥，PN∥，所以MP∥，PN∥，又,

因此∥.而，因此MN∥

（2）以A为坐标原点，分别以直线AB，AC, 为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系O-xyz，如图所示.

设，则，

于是，

，

所以

设是平面的法向量

由得

可取

设是平面的法向量

由得

可取

因为为直二面角，所以

即，解得

考点定位：本大题主要以直三棱柱为几何背景考查线面垂直的判定和二面角的求法，可以运用传统几何法，也可以用空间向量方法求解.突出考查空间想象能力和计算能力