Question

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

（Ⅰ）求椭圆的方程；（4分）

（Ⅱ）若过点(2，0)的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足

（为坐标原点），当＜ 时，求实数的取值范围．（8分）

Answer

（Ⅰ）．（Ⅱ） .

【解析】（Ⅰ）利用已知条件列出关于a,b的方程，解方程即可求解；（Ⅱ）先设出直线方程，联立方程，利用韦达定理找出坐标关系，解不等式即可求解参数范围

（Ⅰ）由题意知， 所以．即． ┈┈2分又因为，所以，．故椭圆的方程为．┈┈4分

（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在.设：，，，，由得.┈5分，. ┈┈6分

.∵，∴，，.

∵点在椭圆上，∴，∴.┈┈8分

∵＜，∴，整理得出，∴.∴，∵，∴，

∴或，∴实数取值范围为.