Question

定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log₂3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．

(1)求证f(x)为奇函数；

(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

(1)见解析

(2) R恒成立．

【解析】（1）证明奇偶性根据定义，可根据x,y取值的任意性，给x,y赋值，显然可以令y=-x,所以需要令x=y=0,求出f(0)的值.问题基本就可以解决.

（2）本小题可根据奇函数这个条件把不等式转化为,然后再研究函数f(x)的单调性，利用单调性把不等式中函数值的大小关系转化为变量的大小关系，从而脱掉法则符号f,求解即可

(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)， ①

令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．

令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有

0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．

(2)【解析】
f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．

f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，  k·3＜-3+9+2，

3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立．

令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．

R恒成立