Question

 （本小题12分） 如图，在五面体中，∥，，，四边形为平行四边形，平面，．

求：（1）直线到平面的距离；

（2）二面角的平面角的正切值．

Answer

（1）；（2）.

【解析】第一问中利用三垂线定理得到。第二问运用二面角的定义作出角或者利用空间向量法表示法向量从而得到二面角的平面角的大小。

第一问（1）AB∥DCDC平面EFCD, AB到面EFCD,的距离等于点A到面EFCD,的距离，过点A作于G，因AB∥DC，故CDAD；又FA平面ABCD，由三垂线定理可知，CDFD，故CDFAD，知CDAG，所以AG为所求直线AB到面EFCD,的距离

在中，

由平面ABCD，得FAAD，从而在中，

。即直线AB到平面EFCD,的距离为。

（2）中由己知，FA平面ABCD，得FAAD，又由，知DAAB，故AD平面ABFE

DAAE，所以，为二面角F-AD-E的平面角，记为.

在中, AE=,由ABCD得,FE//AB,从而

在中, FE=  ,故

所以二面角的平面角的正切值为.

【解析】
（1）AB∥DCDC平面EFCD, AB到面EFCD,的距离等于点A到面EFCD,的距离，过点A作于G，因AB∥DC，故CDAD；又FA平面ABCD，由三垂线定理可知，CDFD，故CDFAD，知CDAG，所以AG为所求直线AB到面EFCD,的距离

在中，

由平面ABCD，得FAAD，从而在中，

。即直线AB到平面EFCD,的距离为。

（2）由己知，FA平面ABCD，得FAAD，又由，知DAAB，故AD平面ABFE

DAAE，所以，为二面角F-AD-E的平面角，记为.

在中, ,由ABCD得,,从而

在中,   ,故

所以二面角的平面角的正切值为.

解法二:

（1）如图以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,则

A(0,0,0)  C(2,2,0)  D(0,2,0)  设可得,由.即,解得  ∥，

面,所以直线AB到面的距离等于点A到面的距离。设A点在平面上的射影点为,则 因且,而

,此即   解得 ① ,知G点在面上,故G点在FD上.

,故有  ②   联立①,②解得, [

为直线AB到面的距离.  而   所以

(2)因四边形为平行四边形,则可设, .由

得,解得.即.故

由,因,,故为二面角的平面角，又,,,所以