Question

已知函数 ，．

（Ⅰ）当  时，求函数  的最小值；

    （Ⅱ）当  时，讨论函数  的单调性；

    （Ⅲ）是否存在实数，对任意的 ，且，有

恒成立，若存在求出的取值范围，若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用，求解单调区间和不等式的恒成立问题的综合运用。

解；（Ⅰ）显然函数的定义域为，…………1分

当．…………2分

∴ 当，．

∴在时取得最小值，其最小值为 ．…………4分

（Ⅱ）∵，…………5分

∴（1）当时，若为增函数；

为减函数；为增函数．

(2)当时,时,为增函数;

（3）当时，为增函数；

为减函数；

为增函数．………… 9分

（Ⅲ）假设存在实数使得对任意的 ，且，有,恒成立，不妨设，只要，即：

令，只要 在为增函数

又函数．

    考查函数 …………10分

      要使在恒成立，只要，…………12分

     故存在实数时，对任意的 ，且，

有恒成立.…………14分