Question

国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值y (美元)与其重量x (克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元.

（Ⅰ）写出y关于x 的函数关系式；

（Ⅱ）若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；

（Ⅲ）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m 克拉和n克拉，

试证明：当m=n 时，价值损失的百分率最大.

(注：价值损失的百分率=×100% ；在切割过程中的重量损耗忽略不计)

Answer

（1）；（2）37.5％；（3）见解析.

【解析】本试题主要是考查了函数与不等式在实际生活中的运用。

【解析】
（Ⅰ）依题意设，， 故．…3分

(Ⅱ）设这颗钻石的重量为a克拉， 由(1)可知，

按重量比为l∶3切割后的价值为．…………………4分

   价值损失为．………………………………5分

   价值损失的百分率为=0.375

   ∴价值损失的百分率为37.5％．………………………………8分

(Ⅲ）证明：价值损失的百分率应为

 ，…………………11分

等号当且仅当m=n时成立.

即把一颗钻石切割成两颗钻石，当两颗钻石的重量相等时，价值损失的百分率达到最大.…12分