Question

已知椭圆的离心率为，且过点，过的右焦点任作直线，设交于，两点（异于的左、右顶点），再分别过点，作的切线，，记与相交于点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）证明：点在一条定直线上.

Answer

（1）；（2）.

【解析】(1)根据离心率和b，可求出a,c的值.

(2) 解本题的关键是，

=……=

然后借助韦达定理解决即可.

【解析】
（1）由题意，得，，…2分 

又，                  ………4分                

解得，，             ………5分

故椭圆的标准方程为；………6分  

（2）当椭圆上的点在轴上方，即时，，

则，            ………………………8分

再由椭圆的对称性，当点在轴下方，，即时，仍有.

因此椭圆在点的切线的斜率.     …………………10分

①当直线轴时，，，从而切线，的方程分别为

，，则点；   ……………11分

②当直线存在斜率时，设，

由，消去，得，

则，.                             ……………13分

于是，

从而方程可化为，而，所以.

即点的横坐标恒为，这表明点恒在直线上.            ………………15分.