Question

已知数列，满足：，当时，；对于任意的正整数，．设的前项和为.

（1）计算，并求数列的通项公式；

（2）求满足的的集合.

Answer

（1）（2）

【解析】(1)先求出数列的通项公式是求解本题的关键.由及两式相减可得：，所以数列的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为，而，故是公差为的等差数列.

（2）在第（1）问的基础上，可求出{}的通项公式，进而求出的通项公式.

然后再根据通项公式的特点采用数列求和的方法求和,之后再确定sn的单调性进而确定其取值范围.

【解析】
（1）在中，取，得，又，，故同样取可得……………………分

由及两式相减可得：，所以数列的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为，而，故是公差为的等差数列，……………………分

注：猜想而未能证明的扣分；用数学归纳法证明不扣分.

（2）在中令得……………………分

又，与两式相减可得：，，即当时， 

经检验，也符合该式，所以，的通项公式为………………9分

.

相减可得：

利用等比数列求和公式并化简得：……………………11分

可见，，……………………12分

经计算，，注意到 的各项为正，故单调递增，所以满足的的集合为……………………14分.