Question

已知是定义在实数集上的奇函数，且当时，

（1）求函数在上的解析式；

（2）判断在上的单调性并证明；

（3）对于任意,不等式恒成立,求的取值范围.

Answer

（1）；（2）见解析；（3）.

【解析】(1)当x∈(－,0), 则－x∈(0,),根据

同时注意f(0)=0.

(2)要利用单调性的定义来判断.或利用导数也可以.

（3）解本题的关键是把原不等式转化为,下一步的关键是确定当时，

结合图像可知恒成立.进而不等式转化为恒成立问题解决即可.

【解析】
（1）∵f(x)是R上的奇函数，∴ f(0)=0------------------1分

设x∈(－,0), 则－x∈(0,)，

-------------3分

----------------------4分

（2）设，有

------8分

∵，∴，∴

∴f(x)在（，0）上为减函数------------------------9分

（3）由得

------------------10分

    又当时，

结合图像可知恒成立，故恒成立-------12分

故，

--------------------------------15分