已知递增等差数列
满足：
，且
成等比数列．
（1）求数列的通项公式
；
（2）若不等式
对任意
恒成立，试猜想出实数
的最小值，并证明．
【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的运用以及数列求和的运用。第一问中，利用设数列公差为
，
由题意可知
，即
，解得d，得到通项公式，第二问中，不等式等价于
，利用当
时，
；当
时，
；而
，所以猜想，的最小值为
然后加以证明即可。
【解析】
（1）设数列公差为，由题意可知，即，
解得
或
（舍去）． …………3分
所以，
． …………6分
（2）不等式等价于，
当时，；当时，；
而，所以猜想，的最小值为． …………8分
下证不等式
对任意恒成立．
方法一：数学归纳法．
当时，
，成立．
假设当
时，不等式
成立，
当
时，
，
…………10分
只要证 
，只要证 
，
只要证 
，只要证 
，
只要证 
，显然成立．所以，对任意，不等式恒成立．…14分
方法二：单调性证明．
要证
只要证 
，
设数列
的通项公式
， …………10分
， …………12分
所以对
，都有
，可知数列为单调递减数列．
而
，所以
恒成立，
故的最小值为．
已知函数
．
（1）求
在区间
上的最大值；
（2）若函数
在区间
上存在递减区间，求实数m的取值范围．
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用，求解函数的最值。第一问中，利用导数求解函数的最值，首先求解导数
，然后利用极值和端点值比较大小，得到结论。第二问中，我们利用函数在上存在递减区间，即
在
上有解，即
，即可，可得到。
【解析】
（1），
令
，解得
……………3分
，
在
上为增函数，在
上为减函数，
．
…………6分
（2）
在
上存在递减区间，在上有解，……9分
在上有解，
，
所以，实数
的取值范围为
已知
，且
．
（1）求
的值；
（2）求
的值．
【解析】本试题主要考查了二项式定理的运用，以及系数求和的赋值思想的运用。第一问中，因为
，所以
，可得
，第二问中，因为
，所以
，所以
，利用组合数性质可知。
【解析】
（1）因为，所以， ……3分
化简可得
，且
，解得． …………6分
（2），所以，
所以，
对于函数
，若存在区间
，使得
，则称区间
为函数的一个“稳定区间”．现有四个函数：
①
②
③
④
．
其中存在“稳定区间”的函数有 ▲
将四个女生和三个男生随机排成一排，然后从左至右依次给他们编号
，则男生的编号之和小于女生编号之和的排法有 ▲
种．（请用数字作答）
下图都是由边长为1的正方体叠成的图形
例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位，第（4）个图形的表面积是60个平方单位．依此规律，则第（8）个图形的表面积是 ▲ 个平方单位．
